H μεταβολή στο "σύστημα" ενός μαθητή της Α` Λυκείου πριν 17 χρόνια στο Βελεστίνο, ήταν να διακρίνει πως για τον ίδιο οι αριθμοί αποκτούσαν σιγά-σιγά μία ξεχωριστή, μαγική ιδιότητα, για την οποία έπρεπε να μαθητεύσει ώστε να τον φέρουν στο δρόμο του τότε μέλλοντος και στο σημερινό (δεύτερο κατά σειρά) μεταδιδακτορικό στο Πανεπιστήμιο "Μπλεζ Πασκάλ" της γαλλικής πόλης Κλερμόν-Φεράν.

Του Φοίβου Παπαγεωργίου για την εφημερίδα Ταχυδρόμος

Γενικό Λύκειο Βελεστίνου και βαθμός "20" στις Πανελλαδικές στο αγαπημένο του μάθημα, προπτυχιακές σπουδές κι εκφώνηση όρκου ως πρώτος στη σειρά του στο ΑΠΘ, μεταπτυχιακό στα θεωρητικά μαθηματικά στο ίδιο ίδρυμα για να ακολουθήσει: το διδακτορικό (Υπερκυκλικές Άλγεβρες και Αφινικά Δυναμικά Συστήματα) στην Αμερική με υποτροφία επικουρικής διδασκαλίας στο Μπόουλινγκ Γκριν του Oχάιο, το μεταδιδακτορικό, επίσης με υποτροφία, στη γη του Ηρακλή Πουαρό, το Βέλγιο και πλέον πιο νότια, όντας μεταδιδακτορικός ερευνητής στην πόλη του σπουδαίου επιστήμονα "Μπλεζ Πασκάλ", όπου ερευνά-εργάζεται στο ομώνυμο πανεπιστήμιο.

Απευθυνθήκαμε στο Δημήτρη Παπαθανασίου, γιο εκπαιδευτικών, βραβευμένο μαθηματικό με σημαντικές επιστημονικές δημοσιεύσεις, την ώρα που ετοίμαζε τις ομιλίες του για συνέδρια σε Λιλ και Μασσαλία.

Θελήσαμε να υποβάλλουμε πιο θεωρητικές ερωτήσεις, ζητώντας τη σύνδεση των μαθηματικών με την ζωή μας, εκφράζοντας την απορία για το αν το ταξίδι με τους αριθμούς χρειάζεται και λίγο συναίσθημα καθώς και το ρόλο της φαντασίας

Περιέγραψέ μας το αντικείμενο πάνω στο οποίο εργάζεσαι:
Το πεδίο των μελετών μου σχετίζεται με την χαοτική συμπεριφορά τελεστών ορισμένων σε απειροδιάστατους διανυσματικούς χώρους και εμπίπτει στους κλάδους της συναρτησιακής ανάλυσης και της θεωρίας τελεστών, που αποτελούν κυρίαρχους τομείς των θεωρητικών μαθηματικών και της μαθηματικής ανάλυσης.

Η χαοτική συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται σε ένα βαθμό από το λεγόμενο "φαινόμενο της πεταλούδας" ή πιο επιστημονικά την "ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες". Η ιδέα είναι ότι μια απειροελάχιστη μεταβολή στο σύστημα μια χρονική στιγμή, μπορεί να επιφέρει δραματικές αλλαγές στο μέλλον. Όπως χαρακτηριστικά σχηματοποίησε ο E. Lorenz "αν μια πεταλούδα κινήσει τα φτερά της στον Αμαζόνιο, μπορεί να φέρει βροχή στην Κίνα". Κατά τον R. L. Devaney το χάος οφείλει να είναι μη γραμμικό, θεωρώντας ότι γραμμικά δυναμικά συστήματα είναι πλήρως προβλέψιμα και στερούνται κάθε χαοτικής συμπεριφοράς.

Ωστόσο, ανακαλύφθηκε ότι αν και σε πεπερασμένης διάστασης γραμμικούς χώρους όντως δεν υφίσταται χάος, αν μεταβούμε σε απειροδιάστατους γραμμικούς χώρους, μπορούμε να βρούμε πληθώρα παραδειγμάτων υπερκυκλικών τελεστών που εκδηλώνουν χαοτική συμπεριφορά. Αυτοί οι υπερκυκλικοί τελεστές αποτελούν το βασικό αντικείμενο μελέτης μου.

Αν και τα μαθηματικά που κάνω θα τα ενέτασσε κανείς στα αφηρημένα μαθηματικά, πιθανές εφαρμογές τους στις άλλες επιστήμες δεν αποκλείονται. Αρκεί να σκεφτούμε ότι η συναρτησιακή ανάλυση σαν τομέας ανακαλύφθηκε από τον Μαθηματικό-Φυσικό J. Vohn Neumann στην προσπάθειά του να θεμελιώσει μαθηματικά την κβαντομηχανική, η οποία αποτελεί κλάδο της θεωρητικής φυσικής.

Τι είναι για σένα φαντασία και τι ρόλο παίζει για την επίτευξη του σκοπού σου;

Η φαντασία, όπως την εκλαμβάνω εγώ, σχετίζεται με την ελεύθερη και δημιουργική σκέψη, με τον επαναστατικό και ριζοσπαστικό συλλογισμό στερούμενο πατροναρίσματος.

Η φαντασία λοιπόν παίζει κυρίαρχο ρόλο σε όλες τις επιστήμες, όχι μόνο στα μαθηματικά και αποτελεί την κινητήρια δύναμη που οδηγεί σε αυτές τις ανακαλύψεις οι οποίες θα επηρεάσουν σημαντικά και ενδεχομένως θα αλλάξουν τον ρου των ερευνών.

Aν το θέσουμε λίγο «χοντροκομμένα», υπάρχουν δύο τρόποι να ανακαλύπτει κανείς αποτελέσματα στα μαθηματικά. Ο ένας είναι να πάρει μια ήδη υπάρχουσα τεχνική και να την εξελίξει και ο δεύτερος είναι να δημιουργήσει ο ίδιος μια καινοτόμα τεχνική. Η ικανότητα που απαιτείται κατά τον πρώτο τρόπο είναι η τεχνική κατάρτιση και η διορατικότητα φυσικά ότι η προηγούμενη τεχνική επιδέχεται εξέλιξης. Για να δημιουργήσει κανείς όμως μια καινούρια προσέγγιση χρειάζεται μεγάλο βαθμό πρωτοτυπίας και σκέψη συνδυαστική και απαλλαγμένη από μιμητισμούς. Θα έλεγα ότι η φαντασία είναι η ειδοποιός διαφορά στις δυο τεχνικές.

Το πρώτο βραβείο "James Robert and Gretchen Overman Graduate Scholarship Award" αφορούσε την άριστη ακαδημαϊκή του στάση, την περίοδο που βρισκότανε στην Αμερική. Το δεύτερο βραβείο αφορούσε την εκπόνηση εξέχουσας διδακτορικής διατριβής.

Μπορούν τα μαθηματικά να ερμηνεύσουν ή να αλλάξουν τον κόσμο;
Αν τα δούμε από εφαρμοσμένη σκοπιά, τα μαθηματικά αποτελούν ένα ισχυρότατο εργαλείο μοντελοποίησης και χρησιμοποιούνται από όλες τις θετικές επιστήμες στην προσπάθεια ερμηνείας του κόσμου. Για μία τέτοια, ερμηνεία, αν είναι βέβαια εφικτή, θα απαιτούνταν η συνδυαστική μελέτη από πολλές επιστήμες θετικές και θεωρητικές και όχι μόνο από τα μαθηματικά. Για να κατανοήσουμε την αλληλεπίδραση αυτή των επιστημών, έστω ότι ένας φυσικός έχει ένα πρόβλημα. Απευθυνόμενος στον μαθηματικό, ο τελευταίος θα το «μεταφράσει» σε μαθηματικό πρόβλημα, λόγου χάρη μια διαφορική εξίσωση, λαμβάνοντας υπ’ όψη τα φυσικά χαρακτηριστικά. Στην συνέχεια θα λύσει το μαθηματικό πρόβλημα και θα δώσει τις λύσεις στον φυσικό. Η ερμηνεία των μαθηματικών λύσεων πίσω στο φυσικό πλαίσιο θα γίνει από τον φυσικό.

Επαναστατικές μαθηματικές ανακαλύψεις που έχουν αλλάξει τον κόσμο έχουν συμβεί πολλές φορές στο παρελθόν και έπεται να συμβούν και άλλες στο μέλλον. Όσο υπάρχουν μεγάλα άλυτα προβλήματα που τροφοδοτούν έρευνες θα υπάρχουν και αντιστοίχως μεγάλες ανακαλύψεις που θα αλλάζουν τον κόσμο. Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων ανακαλύψεων-σταθμών είναι η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού από τους I. Newton και G. W. Leibniz, η δημιουργία του υπολογιστή από τον A. Turing και η ώθηση που δόθηκε στην κβαντομηχανική από τις εργασίες του W. Heisenberg.

Γενικότερα, οι θετικές επιστήμες έχει φανεί ότι μπορεί να χρησιμοποιηθούν τόσο θετικά όσο και αρνητικά ως προς την ανθρωπότητα, κλασικό παράδειγμα η κατασκευή ατομικής βόμβας από τον J. R. Oppenheimer και οι δραματικές επιπτώσεις της.

Σε κοινωνικοπολιτικό επίπεδο, για κάθε αλλαγή υπέρ των πολλών, χρειάζεται αναμφίβολα δυναμική, ανθρώπινη αντίδραση και ίσως όχι τόσο πολύ οι εξισώσεις.

Χωρά συναίσθημα σε μία επιστημονική μεθοδολογία;
Τα μαθηματικά θεωρούνται από πολλούς μη μαθηματικούς μία "κρύα" επιστήμη στερούμενης των συναισθημάτων που θα συναντήσει κανείς στις ανθρωπιστικές επιστήμες, στην λογοτεχνία και στη μουσική. Ωστόσο, για τον μαθηματικό που προσπαθεί να επιλύσει ένα δύσκολο πρόβλημα οι συναισθηματικές διακυμάνσεις είναι πολλές και έντονες. Η απογοήτευση και η απόγνωση κατά τη διάρκεια των άκαρπων προσπαθειών που την θέση τους παίρνουν η χαρά, η συγκίνηση και η λύτρωση κατά την επίλυση του προβλήματος είναι κάποια από αυτά.

Μελέτες έχουν δείξει ότι όταν ένας μαθηματικός κοιτάζει μια όμορφη και κομψή εξίσωση σαν τη διάσημη εξίσωση του L. Euler, ενεργοποιούνται τα ίδια κέντρα στον εγκέφαλο όπως αν κοιτούσε έναν πίνακα ζωγραφικής. Αυτό υποδεικνύει ότι ο μαθηματικός θα θεωρήσει έργο τέχνης την αρμονία και την ομορφιά μιας μαθηματικής εξίσωσης ή απόδειξης και θα καταληφθεί από αντίστοιχα συναισθήματα.

Πώς καταλαβαίνει ένα παιδί-μαθητής πως θέλει να ασχοληθεί αποκλειστικά με τα μαθηματικά;

Η απάντηση εδώ φαντάζει αρχικά εύκολη. Όταν κάποιος το νιώθει, το καταλαβαίνει και είναι απολύτως βέβαιος ότι θέλει να ασχοληθεί αποκλειστικά με το αντικείμενο. Το θέμα είναι όμως σε τι μαθηματικά εκτίθεται ο μαθητής για να καταλάβει αν συγκινείται ή όχι από αυτά.

Η αγάπη για τα σχολικά μαθηματικά και η αναζήτηση συνεχώς δυσκολότερων ασκήσεων που δεν περιορίζονται στην προετοιμασία για εξετάσεις αλλά εκτείνονται και πέρα από αυτές παίρνοντας την μορφή χόμπι είναι σίγουρα μια ισχυρή ένδειξη.

Η αναζήτηση της μαθηματικής θεμελίωσης με λογική αυστηρότητα κατ` εμέ αποτελεί ακόμα ισχυρότερη ένδειξη. Επί παραδείγματι, στην τρίτη τάξη του λυκείου διδασκόμαστε την έννοια του ορίου συνάρτησης. Κανένας ορισμός δεν δίνεται, παρά μόνο μια διαισθητική γεωμετρική ερμηνεία και η υπόλοιπη ύλη της τάξης δομείται πάνω σε σαθρά θεμέλια. Ο κατέχων μαθηματική σκέψη μαθητής δεν θα ικανοποιηθεί από τον διαισθητικό αυτόν ορισμό και θα καλυφθεί μόνο όταν διαβάσει τον αρχικά δυσνόητο αυστηρό ορισμό του ορίου. Η επίπονη αναζήτηση της λογικής τελειότητας είναι μονόδρομος για κάθε εν δυνάμει μαθηματικό.

Τέλος, πολλές είναι οι περιπτώσεις ιδιοφυέστατων μαθηματικών όπως ο E. Galois, οι οποίοι δεν συγκινήθηκαν ποτέ από τα σχολικά μαθηματικά και δεν επετύγχαναν στις εξετάσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις είτε κάποιο βιβλίο που αποτελεί μαθηματικό αριστούργημα, είτε κάποιος διορατικός καθηγητής στάθηκαν η αφορμή ώστε να ανακαλυφθεί η εξέχουσα μαθηματική κλίση.